Resolviendo Ecuaciones e Inecuaciones

Ya anteriormente mencionamos que hay ciertas ecuaciones o inecuaciones que dependiendo de las expresiones que se vean involucradas, pueden ser solucionadas algebraicamente o existe alguna técnica o procedimiento que nos entregue las soluciones correspondientes. Es el caso de las ecuaciones de primer, segundo, tercero y cuarto grado (Ecuaciones Polinomiales), ecuaciones en las cuales las funciones involucradas son resultado de operar (sumar, restar, multiplicar o dividir) con polinomios de grado 0, 1, 2, 3 y 4. 

Para el caso de Ecuaciones de 2º grado o Cuadráticas, conocemos la formula que define a las soluciones y el discriminante que define si son reales o no las soluciones.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Así nos encontramos que ante ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual a 5 no contamos con una formula para saber exactamente una solución de la ecuación.

Tambien existen las ecuaciones trigonometricas, de las cuales tambien cuentan con metodos de resolución determinados en algunos casos.

Ahora que pasa cuando uno quiere solucionar la ecuación exp(x)=cos(x).  Para ambas funciones no existe un método el cual nos ayude a trabajar con ambas a la vez de tal manera que podamos despejar la variable x y por lo tanto encontrar el conjunto solución.

Para estos Casos ¿que es lo más amigable de hacer? Primero, un alumno de Primer Año de Matemáticas o Ingeniería, el cual no tenga idea de que hay ciertas ecuaciones que no cuentan con formulas, tratara  de todas las formas posibles de hacer arreglos algebraicos, para llegar a un calculo directo. Al ver que esto es infructuoso, buscara información y se dará cuenta de la verdad. Entonces ¿que es lo que le queda? Solo poder dar una respuesta  aproximada. 

Muchos software comerciales son capaces de encontrar estas soluciones. Ahora no cualquier persona cuenta con la facilidad de tener un software comercial completo y pagado. Ahora bien, hemos creado un applet el cual entregue las soluciones numéricas de la ecuación, pero además hemos querido vincularlas con el aspecto geométrico de la grafica de la función y como encuentra también geométricamente esos puntos. 

Applet: Este applet trabaja en funcion de un intervalo, donde buscaremos las soluciones. Este intervalo esta definido como [a-b,a+b],y el proceso de busqueda sobre el intervalo se da en pasos de d = (1/10)^c. Los numeros a,b,c y d los definiremos a continuación.

Deslizadores: a : Centro del Intervalo de Trabajo
(Valores de -100 a 100 con un incremento de 1)
b : Radio del Intervalo de Trabajo
(Valores de -5 a 5 con un incrmento de 0.1)
c : Constante de Precisión
(Valores de 0 a 3 con un incremento de 1)
d : Paso o Incremento de busqueda
(d = (1/10)^c, Valores : 1, 0.1, 0.01, 0.001)

Nota: El Valor 3 de la Constante de Precisión suele ocuparse solamente cuando las raices o soluciones que buscamos esten muy cerca y no sea posible distinguir una de otra. Se recomienda que en la mayoria de los casos c se igual a 1.

Los botones de la barra de herramientas te ayudan a desplazarte por la Zona Grafica, realizando zoom out y zoom in.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Responde ahora las siguientes preguntas:

1. Varia las funciones involucradas escribiendo "f(x)=expresión" o "g(x)=expresión" y varia los deslizadores para poder observar el comportamiento en otros intervalos distintos. 
   
2. ¿Que elementos de la Zona Grafica con los Elementos Algebraicos y Numericos relacionarias? ¿Con que relacionarias los vectores verde oscuro? ¿Que relacion existe entre los cortes (o intersección) de dos funciones y las soluciones de la ecuacion que las relaciona? ¿Como buscarias la solucion de las inecuaciones? Especifique.
3. Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con lapiz y papel. Utiliza los metodos que halles necesarios, exceptuando el uso de alguna tecnologia digase: Calculadora Cientifica, TI, Software Matematicos. Comentanos cuales te fueron de gran dificultad y que tecnica ocupaste para la resolución: 
   
   a) sin(x) = cos(x) (al menos 10 soluciones)
   b)  (todas sus soluciones)
   c)  (al menos 10 soluciones positivas)
   d)  (todas sus soluciones)
   e) exp(x) = x + 1
   
   
4. Luego de haber realizado el ejercicio anterior te invitamos a que verifiques tus resultados utilizando el applet exclusivamente. Comentanos las relaciones que puedes extraer del grafico y de la información que te entrega, para cada uno de los items. 
5. Si ya te has percatado este applet te da la posibilidad de resolver numericamente ecuaciones e inecuaciones para un par de funciones dadas. Basandote en la Zona Grafica del applet y en el conocimiento de las soluciones de la Ecuación resuelve lo siguiente:
   
   a) 
   b) 
   c) 
   d) 
   e) 
   f) 
   g)