Recordemos un poco de historia partiendo con una pregunta: ¿Cuáles fueron los primeros atisbos del cálculo?, la respuesta se remonta unos cuantos siglos antes de Cristo. Como en muchos otros conceptos los precursores de la idea del cálculo infinitesimal nació de los griegos.
En particular Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por una cantidad infinita de partes de dimensiones infinitesimales (muy pero muy pequeñas).
Eudoxo utilizó el método del agotamiento para encontrar el área de un círculo (lo asombroso es que esto fue antes de que se conociera la verdadera naturaleza de pi), este método consistía principalmente en inscribir una secuencia de polígonos inscritos con un número cada vez mayor de lados y así acercarse al valor del área por agotamiento.
Lo que más destacamos de estos progresos es el uso de las sucesiones para resolver un problema en particular. Utilizando la misma idea que con la que habían trabajado los griegos fue Bernhard Riemann quién entre muchos otros aportes desarrollo los cimientos de la teoría de integrales, para esto creo el concepto de suma superior y suma inferior.
Para aclarar lo anterior vamos a resolver el siguiente problema utilizando sucesiones:
Queremos calcular el área comprendida entre la función f(x)=x^2 y el eje x y limitada horizontalmente por x=0 y x=3. La pregunta clave aquí es: ¿qué tienen que ver las sucesiones con la solución de este problema?
Bueno pero ya se han dado muchas pistas, lo mejor será ver e interactuar con la siguiente ventana y luego los invito (o los desafío si lo prefieren) a responder las preguntas que se presentan más abajo. (sólo recuerde que el área de un rectángulo es igual a base*altura)
SUCESIÓN SUMA SUPERIOR:
Si presiona las casillas en orden usted puede observar que se va formando una secuencia.
1. ¿Qué realación tiene el límite de la secuencia con el problema expuesto?
Esta secuencia esta detallada para los primeros 10 términos
Si observa detenidamente cada uno de los 10 primeros términos lo que se está haciendo es dividir el intervalo en el cual se quiere calcular el área (en este caso entre 0 y 3) y luego se proyecta un punto de cada sub-intervalo en la función, es decir, se evalúa el punto elegido en f, entonces con el subintervalo y la evaluación del punto elegido obtenemos un rectángulo. Esto se hace para cada subdivisión del intervalo, si dividimos en n partes el intervalo obtenemos n rectángulos y luego sumamos sus áreas. En este caso en particular
2. ¿qué punto del sub-intervalo que se elige para formar el rectángulo?
3. Con respecto a la secuencia que se forma es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?
4. ¿Podría indicar cuál es el n-ésimo término de la secuencia?
5. ¿Podría indicar cuál es el límite exacto de la secuencia suma superior?
Para dar una pista mostraremos la gráfica de la sucesión suma superior:
Si observan la casilla que dice Sucesión Suma Inferior aparece otra sucesión, esta sucesión se obtiene de manera similara a la anterior. Para obtenerla también se divide el intervalo en partes iguales pero el punto que se elige en cada sub intervalo para formar el rectángulo es distinto al que se eligió en la sucesión suma superior, como el punto es distinto la secuencia que se obtiene también lo es. Para saber de donde viene la secuencia suma inferior les presentamos la siguiente ventana interactiva donde aparece la:
SUCESIÓN SUMA INFERIOR
En la ventana anterior no aparece detallada la secuencia como arriba pero de todas formas ustedes pueden
6. buscar el término general de la sucesión suma inferior (recuerden que no siempre se puede obtener una fórmula para el n-ésimo término de una secuencia, pero no se preocupen las dos secuencias que se han presentado aquí tienen término general)
7. Esta sucesión es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?
8. ¿Qué relación hay entre la secuencia suma superior y la secuencia suma inferior?
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