El desarrollo del Calculo Diferencial y todo lo que provenga de el, esta fundamentado y basado en principios fundamentales sobre los cuales yacen los Numeros Reales.
A estos principios se les llaman Axiomas, los cuales son la base para la demostracion de Posteriores Teoremas, Corolarios y Lemas que bajan de ellos.
El conjunto de los Numeros Reales, puede ser caracterizado de varias formas. La que nos interesa ver, para itroducir el Calculo Diferencial es aquella basada en los siguientes Axiomas.
- Axiomas de Cuerpo
- Axiomas de Orden
- Axioma de Completitud o del Supremo.
Lo anterior se resume diciendo que IR es un Cuerpo Ordenado Completo.
Nos interesaremos primeramente en los Axiomas de Cuerpo, adentrandonos primero en lo correspondiente a las estructuras de grupos.
Los axiomas de cuerpo son aquellos referentes a las propiedades algebraicas ( de "operatoria") que cumple el conjunto en cuestion con dos operaciones, + y x, suma y producto, respectivamente.
Un cuerpo es una tripleta (G, +, x) la cual cumple que:
- (G, +) sea un grupo abeliano
- (G*, x) sea un grupo abeliano
- La Distributividad de la Suma con el Producto y viceversa.
Asi G = IR, con la suma usual y el producto usual, se dice que es un Cuerpo.
Estructura de Grupo
Sea G un conjunto no vacio y ▲ una operacion definida sobre el conjunto G. Se dira que G es grupo con esta operacion si cumple las siguientes propiedades:
- Clausura:
- Asociativa:
- Elemento Neutro:
- Elementos Inversos:
- Conmutatividad:
(Con esta ultima propiedad se le llama Grupo Abeliano)
El Primer Ejemplo que veremos es con respecto a la Suma de Numeros Naturales, Enteros y Racionales basandonos en la visualización y asociación al tratamiento con flechas. Las flechas y su longitud representan a los numeros como magnitudes y las sumas de esas flechas son una nueva flecha con magnitud igual a la suma de las magnitudes mas pequeñas.
El Uso de las flechas nos ayuda a visualizar como se cumple la Conmutatividad y Asociatividad de la suma con respecto a los Numeros Racionales.
Ejercicios
- Dado que ya cuenta con las definiciones de las Propiedades Algebraicas de un grupo decida si el Conjunto de los Numeros Reales junto con la Sustracción, es o no, un grupo. Indique que propiedad es la que no se cumple.
- Sea a y b , numeros reales cualquiera y sea ▲ la operacion definida como a ▲ b = (ab - a + b), indique si el Conjunto de los Numeros Reales junto con esta operación, es grupo o no. Indique que propiedades no cumple.
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