martes, 3 de febrero de 2009

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas provienen del estudio de las proporciones de los lados un triángulo rectángulo. Cuando hacemos variar el ángulo obtenemos las distintas funciones de acuerdo a las proporciones elegidas. 

El estudio analítico de esta familia de funciones se remonta a Euler, pero el comienzo de el estudio de la trigonometría es mucho más antigua. Los árabes y griegos hicieron muchos aportes en este sentido.

Las aplicaciones de estas funciones son múltiples y son una herramienta de gran importancia para la astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones y para la representación de fenómenos periódicos (como las ondas mecánicas y electromagnéticas periódicas)

Cuando estudiamos las principales funciones trigonométricas como los son sen(x), cos(x) y tan (x) encontramos elementos característicos como la periodicidad (esta características se encuentra también en las funciones que se desprende de las primeras como los son cosec(x), sec(x), cotan(x)) . En sen(x) y cos(x) también encontramos elementos como la amplitud y el desplazamiento en el eje y. 

Todos los elementos mencionados anteriormente se analizan en la siguiente ventana:


















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Si presiona la casilla de la función seno aparecen una serie de deslizadores, con estos se pueden variar los parámetros de esta función, 
1. Si analizamos el período de esta funcíon ¿de cuántos y cuáles parámetros dependen?, ¿cuál es la relación que existe entre el o los parámetros y el período?
2. Si analizamos la amplitud de esta función ¿de cuántos y cuáles parámetros dependen?
3. Si analizamos el desplazamiento en el eje y de esta función ¿de cuántos y cuáles parámetros dependen?
4. Si presiona la casilla de la función coseno aparecen una serie de deslizadores, con estos se pueden variar los parámetros de esta función, para esta función responda las mismas preguntas formuladas para la función seno
5. Si presiona la casilla de la función tangente esta ¿tiene período? ¿tiene amplitud? ¿tiene desplazamiento en el eje y? justifique

Cuando se estudian las ondas mecánicas periódicas aparecen funciones como sen y cos. En este caso el período corresponde a la longitud de la onda y la amplitud a la intensidad de la onda. También aparece el concepto de frecuencia f que se define como f=1/período, ¿cuál es la interpretación de esa definición?

Si ustedes observan la información que entrega un electrocardiógrafo en series de televisión o en películas (como en la serie doctor House) observamos funciones
 periódicas, estas funciones claramente no son trigonométricas pero para manipularlas y estudiarlas una buena manera es aproximarse a ellas es con series trigonométricas como las series de Fourier, estas series usan como base las funciones seno y coseno. 

Con el estudio de estas funciones que aparecen en ele electrocardiograma es posible averiguar más sobre el ritmo cardíaco, el tamaño y funcionamiento de las cavidades del corazón y el músculo cardíaco. Esta función se puede graficar ya que la actividad eléctrica del corazón es captada por unos discos de metal colocados sobre la piel y esta información se traspasa a un gráfico. Los invito a averiguar más sobre las series de Fourier ya que esta rama de las matemáticas es aplicable al procesamiento de las señales, la mecánica cuántica y la neurociencia. Por último ¿quién fue cuáles fueron los aportes de Fourier?

viernes, 30 de enero de 2009

Utilizando sucesiones para comprender el límite de una función real

Si analizamos la expresión lim_x->a f(x) esta es simplemente una pregunta, la cual no siempre es sencilla de responder. Pero si este problema lo analizamos desde un punto de vista gráfico será mas fácil de comprender. Además si le piden a su profesor que les de ejemplos donde los límites ayuden a comprender mejor algún concepto físico, químico, económico, biológico entonces será aún mas accesible.

Generalmente cuando comenzamos a estudiar el concepto de límite parece ser una idea muy abstracta y que no tiene mucha aplicación, pero en realidad este concepto permitirá definir conceptos como la derivada la cuál es una herramienta fundamental de la ciencia moderna.

Mas aún si queremos ver una aplicación mas directa podemos pensar en la definición relativista de la energía total y cinética, aplicando límites podemos comprender que la energía tiende a infinito cuando un objeto con masa distinta de cero quiere alcanzar la velocidad de la luz.

También cuando tenemos un circuito R-C y queremos ver cuan rápido se carga un capacitor lo podemos ver mediante la función que modela este fenómeno y al calcular el límite de la función de carga a medida que el tiempo tiende a infinito para observar que el capacitor no puede sobrepasar la carga máxima.   

Para observar y comprobar lo anterior debemos tomar la función a analizar, y además debemos elegir en un primer caso un punto de acumulación (este punto no necesariamente debe pertenecer al dominio de f) y nos acercaremos a este mediante una secuencia de puntos en el eje x, si comenzamos a evaluar en forma ordenada estos puntos en  la función podemos ver hacia donde "tiende" f. En un segundo caso en vez de elegir un punto de acumulación podemos elegir tomar una sucesión de puntos que tienda al infinito y evaluarlos en orden para ver que ocurre con f.

Lo que se describe el párrafo anterior es 
lo que se hace en el siguiente applet. La función que aparece como ejemplo es f(x)=1-e^-x. Después aparecen una serie de opciones para observar distintos límites. Cuando usted elija alguna de las opciones aparecerán unos puntos amarillos, si se ven muy cerca hay que utilizar la herramienta de zoom y de desplazamiento para observarlos mejor. Para ver que significa cada opción y como cambiar la función analizada mire la figura de la derecha.  
 
Con todo lo anterior ya pueden interactuar con el applet y analizar distintas funciones y distintos límites:


















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1. En los párrafos de arriba se nombran dos ejemplos, el de la energía cinética relativista y la carga de un capacitor ¿cuáles son las funciones que modelan estos dos fenómenos?
2. Si tomamos la función tangente ¿cuál es el límite de esta función cuando x tiende a infinito positivo y negativo?
3. Calcule limites cuando f es del tipo f(x)=a/(x-b) cuando x tiende a b por la derecha, por la izquierda y simplemente a b.
4. Calcule límtes cuando x tiende a +- infinito de funciones que son cocientes de polinomios 
5. Busque ejemplos de funciones que se apliquen a algún concepto físico, químico, biológico, económico donde el límite sirva para explicar algún fenómeno, por ejemplo ver que significa en la ley de Coulomb el límite cuando f tiende a cero y a infinito.

martes, 20 de enero de 2009

Calcular área utilizando sucesiones

Recordemos un poco de historia partiendo con una pregunta: ¿Cuáles fueron los primeros atisbos del cálculo?, la respuesta se remonta unos cuantos siglos antes de Cristo. Como  en muchos otros conceptos los precursores de la idea del cálculo infinitesimal nació de los griegos. 

En particular Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por una cantidad infinita de partes de dimensiones infinitesimales (muy pero muy pequeñas).

Eudoxo utilizó el método del agotamiento para encontrar el área de un círculo (lo asombroso es que esto fue antes de que se conociera la verdadera naturaleza de pi), este método consistía principalmente en inscribir una secuencia de polígonos inscritos con un número cada vez mayor de lados y así acercarse al valor del área por agotamiento. 

Lo que más destacamos de estos progresos es el uso de las sucesiones para resolver un problema en particular. Utilizando la misma idea que con la que habían trabajado los griegos fue Bernhard Riemann quién entre muchos otros aportes desarrollo los cimientos de la teoría de integrales, para esto creo el concepto de suma superior y suma inferior.  

Para aclarar lo anterior vamos a resolver el siguiente problema utilizando sucesiones:
Queremos calcular el área comprendida entre la función f(x)=x^2 y el eje x y limitada horizontalmente por x=0 y x=3. La pregunta clave aquí es: ¿qué tienen que ver las sucesiones con la solución de este problema? 

Bueno pero ya se han dado muchas pistas, lo mejor será ver e interactuar con la siguiente ventana y luego los invito (o los desafío si lo prefieren) a responder las preguntas que se presentan más abajo. (sólo recuerde que el área de un rectángulo es igual a base*altura)

SUCESIÓN SUMA SUPERIOR:


















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Si presiona las casillas en orden usted puede observar que se va formando una secuencia.
1. ¿Qué realación tiene el límite de la secuencia con el problema expuesto? 

Esta secuencia esta detallada para los primeros 10 términos
Si observa detenidamente cada uno de los 10 primeros términos lo que se está haciendo es dividir el intervalo en el cual se quiere calcular el área (en este caso entre 0 y 3) y luego se proyecta un punto de cada sub-intervalo en la función, es decir, se evalúa el punto elegido en f, entonces con el subintervalo y la evaluación del punto elegido obtenemos un rectángulo. Esto se hace para cada subdivisión del intervalo, si dividimos en n partes el intervalo obtenemos n rectángulos y luego sumamos sus áreas. En este caso en particular 

2. ¿qué punto del sub-intervalo que se elige para formar el rectángulo?

3. Con respecto a la secuencia que se forma es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?

4. ¿Podría indicar cuál es el n-ésimo término de la secuencia?

5. ¿Podría indicar cuál es el límite exacto de la secuencia suma superior?

Para dar una pista mostraremos la gráfica de la sucesión suma superior:


















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Si observan la casilla que dice Sucesión Suma Inferior aparece otra sucesión, esta sucesión se obtiene de manera similara a la anterior. Para obtenerla también se divide el intervalo en partes iguales pero el punto que se elige en cada sub intervalo para formar el rectángulo es distinto al que se eligió en la sucesión suma superior, como el punto es distinto la secuencia que se obtiene también lo es. Para saber de donde viene la secuencia suma inferior les presentamos la siguiente ventana interactiva donde aparece la:
SUCESIÓN SUMA INFERIOR


















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En la ventana anterior no aparece detallada la secuencia como arriba pero de todas formas ustedes pueden 
6. buscar el término general de la sucesión suma inferior (recuerden que no siempre se puede obtener una fórmula para el n-ésimo término de una secuencia, pero no se preocupen las dos secuencias que se han presentado aquí tienen término general)

7. Esta sucesión es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?

8. ¿Qué relación hay entre la secuencia suma superior y la secuencia suma inferior?

domingo, 18 de enero de 2009

Resolviendo Ecuaciones e Inecuaciones

Ya anteriormente mencionamos que hay ciertas ecuaciones o inecuaciones que dependiendo de las expresiones que se vean involucradas, pueden ser solucionadas algebraicamente o existe alguna técnica o procedimiento que nos entregue las soluciones correspondientes. Es el caso de las ecuaciones de primer, segundo, tercero y cuarto grado (Ecuaciones Polinomiales), ecuaciones en las cuales las funciones involucradas son resultado de operar (sumar, restar, multiplicar o dividir) con polinomios de grado 0, 1, 2, 3 y 4. 

Para el caso de Ecuaciones de 2º grado o Cuadráticas, conocemos la formula que define a las soluciones y el discriminante que define si son reales o no las soluciones.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Así nos encontramos que ante ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual a 5 no contamos con una formula para saber exactamente una solución de la ecuación.

Tambien existen las ecuaciones trigonometricas, de las cuales tambien cuentan con metodos de resolución determinados en algunos casos.

Ahora que pasa cuando uno quiere solucionar la ecuación exp(x)=cos(x).  Para ambas funciones no existe un método el cual nos ayude a trabajar con ambas a la vez de tal manera que podamos despejar la variable x y por lo tanto encontrar el conjunto solución.

Para estos Casos ¿que es lo más amigable de hacer? Primero, un alumno de Primer Año de Matemáticas o Ingeniería, el cual no tenga idea de que hay ciertas ecuaciones que no cuentan con formulas, tratara  de todas las formas posibles de hacer arreglos algebraicos, para llegar a un calculo directo. Al ver que esto es infructuoso, buscara información y se dará cuenta de la verdad. Entonces ¿que es lo que le queda? Solo poder dar una respuesta  aproximada. 

Muchos software comerciales son capaces de encontrar estas soluciones. Ahora no cualquier persona cuenta con la facilidad de tener un software comercial completo y pagado. Ahora bien, hemos creado un applet el cual entregue las soluciones numéricas de la ecuación, pero además hemos querido vincularlas con el aspecto geométrico de la grafica de la función y como encuentra también geométricamente esos puntos. 

Applet: Este applet trabaja en funcion de un intervalo, donde buscaremos las soluciones. Este intervalo esta definido como [a-b,a+b],y el proceso de busqueda sobre el intervalo se da en pasos de d = (1/10)^c. Los numeros a,b,c y d los definiremos a continuación.

Deslizadores: a : Centro del Intervalo de Trabajo
(Valores de -100 a 100 con un incremento de 1)
b : Radio del Intervalo de Trabajo
(Valores de -5 a 5 con un incrmento de 0.1)
c : Constante de Precisión
(Valores de 0 a 3 con un incremento de 1)
d : Paso o Incremento de busqueda
(d = (1/10)^c, Valores : 1, 0.1, 0.01, 0.001)

Nota: El Valor 3 de la Constante de Precisión suele ocuparse solamente cuando las raices o soluciones que buscamos esten muy cerca y no sea posible distinguir una de otra. Se recomienda que en la mayoria de los casos c se igual a 1.

Los botones de la barra de herramientas te ayudan a desplazarte por la Zona Grafica, realizando zoom out y zoom in.











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Responde ahora las siguientes preguntas:
  1. Varia las funciones involucradas escribiendo "f(x)=expresión" o "g(x)=expresión" y varia los deslizadores para poder observar el comportamiento en otros intervalos distintos. 
  2. ¿Que elementos de la Zona Grafica con los Elementos Algebraicos y Numericos relacionarias? ¿Con que relacionarias los vectores verde oscuro? ¿Que relacion existe entre los cortes (o intersección) de dos funciones y las soluciones de la ecuacion que las relaciona? ¿Como buscarias la solucion de las inecuaciones? Especifique.
  3. Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con lapiz y papel. Utiliza los metodos que halles necesarios, exceptuando el uso de alguna tecnologia digase: Calculadora Cientifica, TI, Software Matematicos. Comentanos cuales te fueron de gran dificultad y que tecnica ocupaste para la resolución: 

    a) sin(x) = cos(x) (al menos 10 soluciones)
    b)  (todas sus soluciones)
    c)  (al menos 10 soluciones positivas)
    d)  (todas sus soluciones)
    e) exp(x) = x + 1

  4. Luego de haber realizado el ejercicio anterior te invitamos a que verifiques tus resultados utilizando el applet exclusivamente. Comentanos las relaciones que puedes extraer del grafico y de la información que te entrega, para cada uno de los items. 
  5. Si ya te has percatado este applet te da la posibilidad de resolver numericamente ecuaciones e inecuaciones para un par de funciones dadas. Basandote en la Zona Grafica del applet y en el conocimiento de las soluciones de la Ecuación resuelve lo siguiente:

    a) 

    b) 
    c) 
    d) 
    e) 
    f) 
    g)