viernes, 30 de enero de 2009

Utilizando sucesiones para comprender el límite de una función real

Si analizamos la expresión lim_x->a f(x) esta es simplemente una pregunta, la cual no siempre es sencilla de responder. Pero si este problema lo analizamos desde un punto de vista gráfico será mas fácil de comprender. Además si le piden a su profesor que les de ejemplos donde los límites ayuden a comprender mejor algún concepto físico, químico, económico, biológico entonces será aún mas accesible.

Generalmente cuando comenzamos a estudiar el concepto de límite parece ser una idea muy abstracta y que no tiene mucha aplicación, pero en realidad este concepto permitirá definir conceptos como la derivada la cuál es una herramienta fundamental de la ciencia moderna.

Mas aún si queremos ver una aplicación mas directa podemos pensar en la definición relativista de la energía total y cinética, aplicando límites podemos comprender que la energía tiende a infinito cuando un objeto con masa distinta de cero quiere alcanzar la velocidad de la luz.

También cuando tenemos un circuito R-C y queremos ver cuan rápido se carga un capacitor lo podemos ver mediante la función que modela este fenómeno y al calcular el límite de la función de carga a medida que el tiempo tiende a infinito para observar que el capacitor no puede sobrepasar la carga máxima.   

Para observar y comprobar lo anterior debemos tomar la función a analizar, y además debemos elegir en un primer caso un punto de acumulación (este punto no necesariamente debe pertenecer al dominio de f) y nos acercaremos a este mediante una secuencia de puntos en el eje x, si comenzamos a evaluar en forma ordenada estos puntos en  la función podemos ver hacia donde "tiende" f. En un segundo caso en vez de elegir un punto de acumulación podemos elegir tomar una sucesión de puntos que tienda al infinito y evaluarlos en orden para ver que ocurre con f.

Lo que se describe el párrafo anterior es 
lo que se hace en el siguiente applet. La función que aparece como ejemplo es f(x)=1-e^-x. Después aparecen una serie de opciones para observar distintos límites. Cuando usted elija alguna de las opciones aparecerán unos puntos amarillos, si se ven muy cerca hay que utilizar la herramienta de zoom y de desplazamiento para observarlos mejor. Para ver que significa cada opción y como cambiar la función analizada mire la figura de la derecha.  
 
Con todo lo anterior ya pueden interactuar con el applet y analizar distintas funciones y distintos límites:


















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1. En los párrafos de arriba se nombran dos ejemplos, el de la energía cinética relativista y la carga de un capacitor ¿cuáles son las funciones que modelan estos dos fenómenos?
2. Si tomamos la función tangente ¿cuál es el límite de esta función cuando x tiende a infinito positivo y negativo?
3. Calcule limites cuando f es del tipo f(x)=a/(x-b) cuando x tiende a b por la derecha, por la izquierda y simplemente a b.
4. Calcule límtes cuando x tiende a +- infinito de funciones que son cocientes de polinomios 
5. Busque ejemplos de funciones que se apliquen a algún concepto físico, químico, biológico, económico donde el límite sirva para explicar algún fenómeno, por ejemplo ver que significa en la ley de Coulomb el límite cuando f tiende a cero y a infinito.

martes, 20 de enero de 2009

Calcular área utilizando sucesiones

Recordemos un poco de historia partiendo con una pregunta: ¿Cuáles fueron los primeros atisbos del cálculo?, la respuesta se remonta unos cuantos siglos antes de Cristo. Como  en muchos otros conceptos los precursores de la idea del cálculo infinitesimal nació de los griegos. 

En particular Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por una cantidad infinita de partes de dimensiones infinitesimales (muy pero muy pequeñas).

Eudoxo utilizó el método del agotamiento para encontrar el área de un círculo (lo asombroso es que esto fue antes de que se conociera la verdadera naturaleza de pi), este método consistía principalmente en inscribir una secuencia de polígonos inscritos con un número cada vez mayor de lados y así acercarse al valor del área por agotamiento. 

Lo que más destacamos de estos progresos es el uso de las sucesiones para resolver un problema en particular. Utilizando la misma idea que con la que habían trabajado los griegos fue Bernhard Riemann quién entre muchos otros aportes desarrollo los cimientos de la teoría de integrales, para esto creo el concepto de suma superior y suma inferior.  

Para aclarar lo anterior vamos a resolver el siguiente problema utilizando sucesiones:
Queremos calcular el área comprendida entre la función f(x)=x^2 y el eje x y limitada horizontalmente por x=0 y x=3. La pregunta clave aquí es: ¿qué tienen que ver las sucesiones con la solución de este problema? 

Bueno pero ya se han dado muchas pistas, lo mejor será ver e interactuar con la siguiente ventana y luego los invito (o los desafío si lo prefieren) a responder las preguntas que se presentan más abajo. (sólo recuerde que el área de un rectángulo es igual a base*altura)

SUCESIÓN SUMA SUPERIOR:


















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Si presiona las casillas en orden usted puede observar que se va formando una secuencia.
1. ¿Qué realación tiene el límite de la secuencia con el problema expuesto? 

Esta secuencia esta detallada para los primeros 10 términos
Si observa detenidamente cada uno de los 10 primeros términos lo que se está haciendo es dividir el intervalo en el cual se quiere calcular el área (en este caso entre 0 y 3) y luego se proyecta un punto de cada sub-intervalo en la función, es decir, se evalúa el punto elegido en f, entonces con el subintervalo y la evaluación del punto elegido obtenemos un rectángulo. Esto se hace para cada subdivisión del intervalo, si dividimos en n partes el intervalo obtenemos n rectángulos y luego sumamos sus áreas. En este caso en particular 

2. ¿qué punto del sub-intervalo que se elige para formar el rectángulo?

3. Con respecto a la secuencia que se forma es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?

4. ¿Podría indicar cuál es el n-ésimo término de la secuencia?

5. ¿Podría indicar cuál es el límite exacto de la secuencia suma superior?

Para dar una pista mostraremos la gráfica de la sucesión suma superior:


















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Si observan la casilla que dice Sucesión Suma Inferior aparece otra sucesión, esta sucesión se obtiene de manera similara a la anterior. Para obtenerla también se divide el intervalo en partes iguales pero el punto que se elige en cada sub intervalo para formar el rectángulo es distinto al que se eligió en la sucesión suma superior, como el punto es distinto la secuencia que se obtiene también lo es. Para saber de donde viene la secuencia suma inferior les presentamos la siguiente ventana interactiva donde aparece la:
SUCESIÓN SUMA INFERIOR


















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En la ventana anterior no aparece detallada la secuencia como arriba pero de todas formas ustedes pueden 
6. buscar el término general de la sucesión suma inferior (recuerden que no siempre se puede obtener una fórmula para el n-ésimo término de una secuencia, pero no se preocupen las dos secuencias que se han presentado aquí tienen término general)

7. Esta sucesión es:
- ¿acotada?
- ¿creciente, decreciente o ninguna de las anteriores?
- ¿convergente o divergente?

8. ¿Qué relación hay entre la secuencia suma superior y la secuencia suma inferior?

domingo, 18 de enero de 2009

Resolviendo Ecuaciones e Inecuaciones

Ya anteriormente mencionamos que hay ciertas ecuaciones o inecuaciones que dependiendo de las expresiones que se vean involucradas, pueden ser solucionadas algebraicamente o existe alguna técnica o procedimiento que nos entregue las soluciones correspondientes. Es el caso de las ecuaciones de primer, segundo, tercero y cuarto grado (Ecuaciones Polinomiales), ecuaciones en las cuales las funciones involucradas son resultado de operar (sumar, restar, multiplicar o dividir) con polinomios de grado 0, 1, 2, 3 y 4. 

Para el caso de Ecuaciones de 2º grado o Cuadráticas, conocemos la formula que define a las soluciones y el discriminante que define si son reales o no las soluciones.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Así nos encontramos que ante ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual a 5 no contamos con una formula para saber exactamente una solución de la ecuación.

Tambien existen las ecuaciones trigonometricas, de las cuales tambien cuentan con metodos de resolución determinados en algunos casos.

Ahora que pasa cuando uno quiere solucionar la ecuación exp(x)=cos(x).  Para ambas funciones no existe un método el cual nos ayude a trabajar con ambas a la vez de tal manera que podamos despejar la variable x y por lo tanto encontrar el conjunto solución.

Para estos Casos ¿que es lo más amigable de hacer? Primero, un alumno de Primer Año de Matemáticas o Ingeniería, el cual no tenga idea de que hay ciertas ecuaciones que no cuentan con formulas, tratara  de todas las formas posibles de hacer arreglos algebraicos, para llegar a un calculo directo. Al ver que esto es infructuoso, buscara información y se dará cuenta de la verdad. Entonces ¿que es lo que le queda? Solo poder dar una respuesta  aproximada. 

Muchos software comerciales son capaces de encontrar estas soluciones. Ahora no cualquier persona cuenta con la facilidad de tener un software comercial completo y pagado. Ahora bien, hemos creado un applet el cual entregue las soluciones numéricas de la ecuación, pero además hemos querido vincularlas con el aspecto geométrico de la grafica de la función y como encuentra también geométricamente esos puntos. 

Applet: Este applet trabaja en funcion de un intervalo, donde buscaremos las soluciones. Este intervalo esta definido como [a-b,a+b],y el proceso de busqueda sobre el intervalo se da en pasos de d = (1/10)^c. Los numeros a,b,c y d los definiremos a continuación.

Deslizadores: a : Centro del Intervalo de Trabajo
(Valores de -100 a 100 con un incremento de 1)
b : Radio del Intervalo de Trabajo
(Valores de -5 a 5 con un incrmento de 0.1)
c : Constante de Precisión
(Valores de 0 a 3 con un incremento de 1)
d : Paso o Incremento de busqueda
(d = (1/10)^c, Valores : 1, 0.1, 0.01, 0.001)

Nota: El Valor 3 de la Constante de Precisión suele ocuparse solamente cuando las raices o soluciones que buscamos esten muy cerca y no sea posible distinguir una de otra. Se recomienda que en la mayoria de los casos c se igual a 1.

Los botones de la barra de herramientas te ayudan a desplazarte por la Zona Grafica, realizando zoom out y zoom in.











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Responde ahora las siguientes preguntas:
  1. Varia las funciones involucradas escribiendo "f(x)=expresión" o "g(x)=expresión" y varia los deslizadores para poder observar el comportamiento en otros intervalos distintos. 
  2. ¿Que elementos de la Zona Grafica con los Elementos Algebraicos y Numericos relacionarias? ¿Con que relacionarias los vectores verde oscuro? ¿Que relacion existe entre los cortes (o intersección) de dos funciones y las soluciones de la ecuacion que las relaciona? ¿Como buscarias la solucion de las inecuaciones? Especifique.
  3. Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con lapiz y papel. Utiliza los metodos que halles necesarios, exceptuando el uso de alguna tecnologia digase: Calculadora Cientifica, TI, Software Matematicos. Comentanos cuales te fueron de gran dificultad y que tecnica ocupaste para la resolución: 

    a) sin(x) = cos(x) (al menos 10 soluciones)
    b)  (todas sus soluciones)
    c)  (al menos 10 soluciones positivas)
    d)  (todas sus soluciones)
    e) exp(x) = x + 1

  4. Luego de haber realizado el ejercicio anterior te invitamos a que verifiques tus resultados utilizando el applet exclusivamente. Comentanos las relaciones que puedes extraer del grafico y de la información que te entrega, para cada uno de los items. 
  5. Si ya te has percatado este applet te da la posibilidad de resolver numericamente ecuaciones e inecuaciones para un par de funciones dadas. Basandote en la Zona Grafica del applet y en el conocimiento de las soluciones de la Ecuación resuelve lo siguiente:

    a) 

    b) 
    c) 
    d) 
    e) 
    f) 
    g) 

viernes, 16 de enero de 2009

Los Numeros Reales: Estructura de Grupo, Grupos Finitos

Al momento de aprender Cálculo 1, uno tiende a observar las propiedades algebraicas o los axiomas  de Cuerpo y no tomarle mucha atención en un principio. Sin embargo, como ya hemos dicho anteriormente, estos axiomas no son parte de un tratamiento particular relacionado unicamente con los Numeros Reales, cosa que ya hemos evidenciado con el ejemplo de los pares ordenados de Numeros Enteros, sino que son propiedades con las cuales uno se puede encontrar al momento de estudiar la estructura algebraica de un conjunto cualquiera junto con una operacion binaria definida sobre ese conjunto.

Esto nos lleva a mencionar los Grupos Finitos Ciclicos Z/nZ, donde n es un numero natural, como un ejemplo interesante de grupo. Te invitamos a que observes el siguiente applet donde se muestran las correspondientes tablas de adicion y multiplicacion de estos conjuntos. Despues de observar el applet te invitamos a que respondas las posteriores preguntas.










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Preguntas
  1. ¿Que propiedades identificas al momento de observar la tabla de adicion?
  2. ¿Con que propiedad de la tabla se puede asociar a la conmutatividad de la adicion?
  3. Pregunta Abierta ¿Se podra asociar a una propiedad de la tabla la asociatividad de la adicion?
  4. Al observar la tabla, ¿Podrias conjeturar como se define el conjunto y la operacion a partir de la tabla?
  5. ¿Que propiedad identificás al momento de observar la tabla multiplicativa?
  6. ¿Se puede observar la conmutatividad del producto de igual forma que con la adición?
  7. ¿Que particularidad se da en estos conjuntos? Observe que el producto de 4 por 3 es 0 en Z/6Z. 
  8. ¿Es posible que el producto de dos numeros distintos de 0 sea 0 cuando n es un numero primo?

Los Numeros Reales: Estructura de Grupo

Siguiendo una linea parecida de la ultima publicación de este tema, nos aprovecharemos de la visualizacion a traves de flechas de los Numeros Reales, esta vez para representar pares ordenados. A estas flechas se les conoce como vectores.

Veremos el siguiente ejemplo propuesto en el Libro "Matemáticas Para Ingeniería: Cálculo 1" de Jaime Mena L. y Sara Arancibia C.

Ejemplo

Sea  y sea * la operación definida por



Entonces  no es grupo. En efecto: 



Por otra parte



Como , entonces no se cumple la propiedad asociativa.

La ventaja que tienen las páginas web interactivas sobre los libros es lo siguiente: En  el libro viene el ejemplo justo, aquel que muchas veces nos saca de la duda o nos puede generar otras preguntas las cuales no dejan de ser interesantes. Por esto mismo, es que ampliamos el ejemplo del libro agregando la siguiente animación, la cual nos entrega una representación vectorial de los elementos del conjunto C y vemos la visualización de la no asociatividad del conjunto y de como tampoco se cumplen otras propiedades algebraicas, entregando ademas las propiedades explicitamente y los calculos correspondientes.

Se te invita a que observes el applet y respondas las preguntas posteriores.
Mueve los deslizadores de la izquierda para modificar las coordenadas de los puntos A, B y C. Si activas una de las casillas podras ver la propiedad a la cual hace alusión y los calculos correspondientes. Ademas podras ver graficamente si cumplen o no con la propiedad.










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Preguntas
  1. Despues de haber observado bien el applet, indica si existe algun conjunto donde se cumplan todas las propiedades algebraicas dada la misma operación.
  2. Haga los calculos manualmente de cual seria la condición necesaria, para que se cumpla cada propiedad.

Los Numeros Reales

El desarrollo del Calculo Diferencial y todo lo que provenga de el, esta fundamentado y basado en principios fundamentales sobre los cuales yacen los Numeros Reales.

A estos principios se les llaman Axiomas, los cuales son la base para la demostracion de Posteriores Teoremas, Corolarios y Lemas que bajan de ellos.

El conjunto de los Numeros Reales, puede ser caracterizado de varias formas. La que nos interesa ver, para itroducir el Calculo Diferencial es aquella basada en los siguientes Axiomas.
  1. Axiomas de Cuerpo
  2. Axiomas de Orden
  3. Axioma de Completitud o del Supremo.
Lo anterior se resume diciendo que IR es un Cuerpo Ordenado Completo.

Nos interesaremos primeramente en los Axiomas de Cuerpo, adentrandonos primero en lo correspondiente a las estructuras de grupos.

Los axiomas de cuerpo son aquellos referentes a las propiedades algebraicas ( de "operatoria") que cumple el conjunto en cuestion con dos operaciones, + y x, suma y producto, respectivamente.

Un cuerpo es una tripleta (G, +, x) la cual cumple que:
  1. (G, +) sea un grupo abeliano
  2. (G*, x) sea un grupo abeliano
  3. La Distributividad de la Suma con el Producto y viceversa.
Asi G = IR, con la suma usual y el producto usual, se dice que es un Cuerpo.

Estructura de Grupo

Sea G un conjunto no vacio y ▲ una operacion definida sobre el conjunto G. Se dira que G es grupo con esta operacion si cumple las siguientes propiedades:
  1. Clausura:
  2. Asociativa:
  3. Elemento Neutro:
  4. Elementos Inversos:
  5. Conmutatividad: (Con esta ultima propiedad se le llama Grupo Abeliano)
El Primer Ejemplo que veremos es con respecto a la Suma de Numeros Naturales, Enteros y Racionales basandonos en la visualización y asociación al tratamiento con flechas. Las flechas y su longitud representan a los numeros como magnitudes y las sumas de esas flechas son una nueva flecha con magnitud igual a la suma de las magnitudes mas pequeñas.










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El Uso de las flechas nos ayuda a visualizar como se cumple la Conmutatividad y Asociatividad de la suma con respecto a los Numeros Racionales.

Ejercicios
  1. Dado que ya cuenta con las definiciones de las Propiedades Algebraicas de un grupo decida si el Conjunto de los Numeros Reales junto con la Sustracción, es o no, un grupo. Indique que propiedad es la que no se cumple.
  2. Sea a y b , numeros reales cualquiera y sea ▲ la operacion definida como a ▲ b = (ab - a + b), indique si el Conjunto de los Numeros Reales junto con esta operación, es grupo o no. Indique que propiedades no cumple.

martes, 13 de enero de 2009

Función Cuadrática

Uno de los objetivos que hay detrás el estudio de una función es modelar un fenómeno y partir de las características de la función, sacar conclusiones y con estas predecir sucesos del fenómeno estudiado. En particular la función cuadrática aparece en muchas aplicaciones, tanto en física como en economía, en cálculo de áreas y muchas otras disciplinas.

Pero antes de modelar y predecir debemos saber graficar.

En la siguiente ventana dinámica usted puede deslizar los parámetros a, b y c. De esta forma usted puede observar como cambia la grafica a medida que los parámetros son elegidos. Aspectos importantes dentro de la grafica de una función cuadrática, como los son interceptos con el eje x, el intercepto con el eje y, el  vértice, el o los intervalos de crecimiento y decrecimiento. serán estudiados en este artículo. Para ver lo mensionado anteriormente elija la casilla correspondiente a cada componente:



















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a) Al presionar en la casilla “Vértice (valor máximo o valor mínimo)” interactúe y responda lo siguiente: 

1. ¿Qué parámetro de f no afecta la coordenada x del vértice?
2. ¿Cuáles son las condiciones de(l) el(los) parámetro(s) para que el vértice  corresponda al puto máximo en la gráfica de f ?
3. ¿Cuáles son las condiciones de el(los) parámetro(s) para que el vértice  corresponda al puto mínimo en la gráfica de f ?

b) Al presionar la casilla “Interceptos de f con el eje x” interactúe y responda lo siguiente:

1. ¿qué relación hay entre el discriminante y la cantidad de interceptos de f con el eje x?
2. ¿Cuáles son las condiciones de los parámetros para que el vértice coincida con los interceptos de f con el eje x?

c) Al presionar la casilla “Intercepto de f con el eje y” responda lo siguiente:

1. ¿Cuál es el parámetro que cambia la coordenada del  intercepto  de la función con el eje y?
2. ¿Cuáles son las condiciones de los parámetros para que el vértice coincida con el intercepto de f con el eje y?
3. ¿Se puede dar  qué coincidan en forma simultánea el vértice, los interceptos con el eje x y además el intercepto con el eje y? Si la respuesta es afirmativa indique cuáles son las condiciones que deben satisfacer a, b y c. Si la respuesta es negativa indique porque no puede ser.

d) Al presionar la casilla “Intervalo donde f es creciente” observe lo siguiente:
Aparecen otras casillas, presiónelas en orden y vea que los puntos en el eje x aparezcan de izquierda a derecha, y por el orden de los números reales es lo mismo que decir que se están de menor a mayor. Al evaluar estos puntos                                                                         1. ¿qué ocurre con el orden de esas evaluaciones? ¿Puede indicar cuál es el intervalo en función de los parámetros donde f es creciente?                                                                 2. ¿Puede escribir el intervalo donde f es creciente en función de los parámetros?

Observe y responda a las preguntas análogas en el caso de que presione la casilla “Intervalo donde f es decreciente” 

Además de lo anterior indique ejemplos aplicados a otras disciplinas como física, química, resistencia de materiales, economía u otros donde se utilice la función cuadrática

viernes, 9 de enero de 2009

Funciones Polinomiales

Una función polinomial es aquella donde cada x del dominio se evalúa en un polinomio fijo.

El dominio máximo de estas funciones es todo IR, esto se debe a que estas funciones no tienen restricciones.

La aplicabilidad que tienen estas funciones son múltiples y variadas, por ejemplo, la forma en la que las calculadoras científicas realizan todas sus operaciones es a través de las funciones polinomiales, las que se aproximan a funciones mas complejas (como log, exp, sen, cos, tan, etc...) mediante expansiones como las Series de Taylor (esta materia la verá un poco mas adelante, no se preocupe). Este tipo de expansiones le permiten a las calculadoras por ejemplo saber el valor de cos(5º).

Además de lo anterior hay otras ciencias que describen las leyes que las rigen mediante funciones polinomiales, entre los muchos casos que hay casos podemos mencionar los siguientes:

1. Cuando tenemos un condensador de placas paralelas el campo eléctrico que hay en medio de las placas está dado por una función constante.
2. Las primeras funciones que se ven en microeconomía y estudian la relación oferta-demanda son funciones lineales.
3. Cuando estudiamos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la aceleración es una función constante con respecto al tiempo (por definición), la velocidad del móvil estudiado es una función lineal (como consecuencia) y la posición del objeto a medida que transcurre el tiempo es modelado por una función cuadrática (como consecuencia).
3. Cuando tenemos una lámina con un área fija y con esta queremos construir una caja sin tapa, el volumen de la caja está dado por una función cúbica
4.- En resistencia de materiales aparecen funciones polinomiales de grado 4.

Pero antes de comprender estos ejemplos y los conceptos asociados a ellas debemos saber como se comportan la gráfica de las funciones polinómicas, para esto usaremos un applet que nos permitirá ver funciones asociadas a polinomios sin grado, además de funciones asociadas a poinomios de grado 1, 2, 3 y 4 (Por supuesto existen funciones polinomiales del grado mayor).











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Cuando se analiza una función es importante reconocer componentes destacados o clasificación según los parámetros que se elijan dentro de ellas.

Dentro de una función es importante reconocer:
1. Los interceptos de la función con el eje x, en el lenguaje de los polinomios estamos pensando en raíces o ceros de este.
2. El intercepto de la función con el eje y (indique porque una función puede tener sólo un corte con el eje y, en cambio puede tener mas de un corte con el eje x)
3. Los intervalos donde la función es creciente o decreciente
4. Los máximos y mínimos locales de cada función (si es que existen)
5. El Recorrido de cada función (el dominio ya fue descrito)
6. Intervalos donde es cóncava o convexa

Es también importante clasificarlas e indicar:
1. Cual de estas funciones es inyectiva
2. Cual de estas funciones es sobreyectiva
3. Cual de estas funciones es biyectiva

Para cada una de las funciones polinomiales presentadas aquí describa sus componentes y clasifÍquelas según los parámetros que aparecen en su ecuación general. Para EJEMPLIFICAR lo que se pide se decribirán los componentes de la función cuadrática en un applet denominado FUNCIÓN CUADRÁTICA

lunes, 5 de enero de 2009

Las Secciones Conicas y La Tecnologia: Conociendo Las Ecuaciones

Las Secciones Cónicas, ampliamente conocidas desde las Matematicas Escolares, y popularizadas por el uso de la Parabola en la resolucion de ecuaciones de Segundo Grado, no son interesante solamente por la Matematica que las envuelve, sino que lo son aun mas por las aplicaciones que tienen en el Ambito Tecnologico y Astronomico.

Las Secciones Cónicas son aplicables a la mecanica celeste, esto fue descubierto por Johannes Kepler, ya que las trayectorias que describen las órbitas planetarias corresponden precisamente a las secciones cónicas (especificamente Orbitas Elipticas).

Otra aplicación se da al planear el despegue de una nave espacial, ya que para que esta pueda abandonar la Tierra e ir a algun planeta (por ejemplo, Marte) tiene que encontrarse la Tierra en algún punto de la excentricidad correspondiente a la órbita elíptica descrita por la Tierra.

En el área de la mecánica, específicamente la dinámica del cuerpo rígido son importantísimas las parábolas, elipse y demás trayectorias, ya que para el análisis cinematico de un mecanismo (por ejemplo el diseño de levas) estas pueden describir una trayectoria elíptica o de otro tipo, donde son aplicadas las ecuaciones correspondientes a dichas figuras.

También se aplican las ecuaciones que rigen a las secciones cónicas al describir el movimiento de un proyectil (Tiro Parabólico). Otra sección cónica importante es el circulo, sus aplicaciones son evidentes.

En definitiva, en cualquier campo de las ciencias son aplicables las secciones cónicas. Por lo tanto es importante descubrir y entender, al momento de estudiar esas ecuaciones, que influencia tiene cada uno de los parametros de una ecuación de una sección cónica.












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Ejercicio: Una vez que ya ha observado bien el applet y de haber estudiado cada ecuación, indique como hace variar la grafica de cada ecuación, la variación de cada parametro.

domingo, 4 de enero de 2009

Resolviendo Inecuaciones

Al momento de Resolver Inecuaciones, el primer metodo que comunmente aplicamos es utilizar el algebra conocida y entrar a descubrir a que intervalo debe pertenecer la solución. Ahora bien, no todas las ecuaciones o inecuaciones, son faciles de resolver manualmente debido a que no contamos con metodos adecuados o muchas veces debemos dar aproximaciones a la solución. Es aqui donde la Geometria y la Visualización se vuelven importantes para encontrar dicha aproximación.

Aqui disponemos de un graficador que nos entregara información de las distintas regiones que podria generar una posible inecuación. Haciendo clicks en las distintas casillas, podra diferenciar las regiones, dada una inecuacion f(x)>g(x) o g(x)>f(x), para dos funciones cualquiera. Con este applet podemos observar las regiones o conjuntos descritos como C={(x,y) IR^2 / f(x) > = < g(x)}.










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Puede utilizar esto para encontrar los intervalos solución para ciertas inecuaciones dadas.

sábado, 3 de enero de 2009

Optimización. Minimizando el uso de material al construir un cilindro

Muchas veces se quiere construir un cilindro donde su contenido sea adaptable al recipiente que lo contiene. Por ejemplo:

1. Un tarro de conserva y queremos introducir algún alimento o líquido.
2. Un tonel de aceite
3. Un barril de petróleo
4. Un tarro de leche Nido
5. Una lata de bebida o cerveza

Todos estos recipientes tienen cosas en común. Una de ellas es que todas tiene forma cilíndrica, la segunda es que el contenido es fijo para cada caso. Para ejemplificar lo anterior los barriles industriales tienen una capacidad de 216 lts. Las latas de bebida o de cervezas contienen 333 centímetros cúbicos . Por último cada uno de los fabricantes de estos recipientes cilíndricos tiene un objetivo en común: ocupar la menor cantidad de material posible.

Es aquí donde las matemáticas cobran vital importancia. En la siguiente ventana resolveremos el siguiente problema: Queremos construir un tarro cilíndrico que tenga una capacidad de 333 cm^3 ocupando la menor cantidad de material. Recordemos que al comprar material para construir un recipiente este lo venden por mt^2, es decir, nosotros queremos minimizar una función de área.

Si movemos el punto amarillo podemos observar como cambian las dimensiones del cilindro, y la función que aparece graficada es la función de área. Nuestro objetivo es encontrar el punto mínimo de esta función, para eso utilizaremos la derivada...











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1. Observe que el applet entrega el valor del radio que minimiza la función área pero ¿Cuánto vale el valor de la altura del cilindro con área mínima?
2. Cuando el problema se resuelve algebraicamente lo que hacemos es derivar la función a optimizar y luego se iguala a cero mirando el applet usted podría responder ¿por qué?
3. Si usted resuelve el problema algebraicamente aparecen 2 soluciones ¿cuál se descarta? y ¿por qué se descarta?
4. ¿Cuál será el valor del radio y la altura del cilindro con área mínima si la capacidad que de este es de 1 litro?
5. Generalizando lo anterior ¿Cuál será el valor del radio y la altura del cilindro con área mínima si la capacidad que de este es un valor arbitrario V?
6. Observando la grafica que queremos optimizar usted podría decir sí es o no una parábola. Justifique su respuesta