Optimización. Minimizando el uso de material al construir un cilindro

Muchas veces se quiere construir un cilindro donde su contenido sea adaptable al recipiente que lo contiene. Por ejemplo:

1. Un tarro de conserva y queremos introducir algún alimento o líquido.

2. Un tonel de aceite

3. Un barril de petróleo

4. Un tarro de leche Nido

5. Una lata de bebida o cerveza

Todos estos recipientes tienen cosas en común. Una de ellas es que todas tiene forma cilíndrica, la segunda es que el contenido es fijo para cada caso. Para ejemplificar lo anterior los barriles industriales tienen una capacidad de 216 lts. Las latas de bebida o de cervezas contienen 333 centímetros cúbicos . Por último cada uno de los fabricantes de estos recipientes cilíndricos tiene un objetivo en común: ocupar la menor cantidad de material posible.

Es aquí donde las matemáticas cobran vital importancia. En la siguiente ventana resolveremos el siguiente problema: Queremos construir un tarro cilíndrico que tenga una capacidad de 333 cm^3 ocupando la menor cantidad de material. Recordemos que al comprar material para construir un recipiente este lo venden por mt^2, es decir, nosotros queremos minimizar una función de área.

Si movemos el punto amarillo podemos observar como cambian las dimensiones del cilindro, y la función que aparece graficada es la función de área. Nuestro objetivo es encontrar el punto mínimo de esta función, para eso utilizaremos la derivada...

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1. Observe que el applet entrega el valor del radio que minimiza la función área pero ¿Cuánto vale el valor de la altura del cilindro con área mínima?

2. Cuando el problema se resuelve algebraicamente lo que hacemos es derivar la función a optimizar y luego se iguala a cero mirando el applet usted podría responder ¿por qué?

3. Si usted resuelve el problema algebraicamente aparecen 2 soluciones ¿cuál se descarta? y ¿por qué se descarta?

4. ¿Cuál será el valor del radio y la altura del cilindro con área mínima si la capacidad que de este es de 1 litro?

5. Generalizando lo anterior ¿Cuál será el valor del radio y la altura del cilindro con área mínima si la capacidad que de este es un valor arbitrario V?

6. Observando la grafica que queremos optimizar usted podría decir sí es o no una parábola. Justifique su respuesta